解析式:
在數學中,二次函數(英語:quadratic function)表示形為
(
,且
、
、
是常數)的多項式函數,其中,
為自變數[a],
、
、
分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於
軸的拋物線。[1]
二次函數表達式
的定義是一個二次多項式,因為
的最高冪次是2。
如果令二次函數的值等於零,則可得一個一元二次方程式、二次方程式。該方程式的解稱為方程式的根或函數的零點。
大約在公元前480年,古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根,但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。
7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程式的人,它同時容許有正負數的根。[b]
11世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum,首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。[c]
二次方程式
的兩個根為:
![{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c22777378f9c594c71158fea8946f2495f2a28)
解方程式後,我們會得到兩個根:
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308)
和
![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766)
。則
點![{\displaystyle (x_{1},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4651c8e5721d3fac22aa26b690a08a039aa322e1)
和
![{\displaystyle (x_{2},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3acf38d6f9a0751c91f577bb0138952de7a693)
就是二次函數與
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
軸的
交點。根的
類型如下:
- 設
為一元二次方程式的判別式,又記作D。
- 當
,則方程式有兩個不相等的根,也即與
軸有兩個不重疊的交點,因為
是正數。
- 當
,則方程式有兩個相等的根,也即與
軸有一個切點,因為
是零。
- 當
,則方程式沒有實數根,也即與
軸沒有交點,因為
是共軛複數。
設
和
,我們可以把
因式分解為
。
二次函數的形式[編輯]
二次函數可以表示成以下三種形式:
稱為一般形式或多項式形式。
稱為因子形式或交點式,其中
和
是二次方程式的兩個根,
,
是拋物線與
軸的兩個交點。
稱為標準形式或頂點形式,
即為此二次函數的頂點。
把一般形式轉換成因子形式時,我們需要用求根公式來算出兩個根
和
,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式轉換成標準形式時,我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時,我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。
代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為
展開後比較後可得 ![{\displaystyle k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1c9cd1b9d0c6360bf9553fbf7d3f6294c08058)
不通過
和
求
及
公式:
![{\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36a77361ce8a83dc957d6a9d16025e3c35aac33)
(也作
)
而在三種形式中皆出現的
為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖像開口的大小與方向。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_ax%5E2.svg/350px-Function_ax%5E2.svg.png)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Function_x%5E2%2Bbx.svg/350px-Function_x%5E2%2Bbx.svg.png)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Function_x%5E2-bx.svg/350px-Function_x%5E2-bx.svg.png)
- 係數
控制了二次函數從頂點的增長(或下降)速度,即二次函數開口方向和大小。
越大,開口越小,函數就增長得越快。
- 係數
和
控制了拋物線的對稱軸(以及頂點的
坐標)。
- 係數
控制了拋物線穿過
軸時的傾斜度(導數)。
- 係數
控制了拋物線最低點或最高點的高度,它是拋物線與
軸的交點。
函數
|
圖像
|
函數變化
|
對稱軸
|
開口方向
|
最大(小)值
|
![{\displaystyle y=ax^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d52a44a3db46af9ddcfabec595af948aff95b8) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_ax%5E2.svg/140px-Function_ax%5E2.svg.png) |
當 時, 隨 的增大而增大; 當 時, 隨 的減小而增大 |
軸 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d52a44a3db46af9ddcfabec595af948aff95b8) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png) |
當 時, 隨 的增大而減小; 當 時, 隨 的減小而減小 |
軸 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向下 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e46b56f6dad46290199ea9d264667f5addf42) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png) |
當 時, 隨 的增大而增大; 當 時, 隨 的減小而增大 |
軸 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e46b56f6dad46290199ea9d264667f5addf42) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png) |
當 時, 隨 的增大而減小; 當 時, 隨 的減小而減小 |
軸 或 ![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向下 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a55c26ab89b7ed1b9b7dba43e446364e96022) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0.png/140px-Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0.png) |
當 時, 隨 的增大而增大; 當 時, 隨 的減小而增大 |
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149700f11980672ab7e1d5af4898f0ac67aba29b) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a55c26ab89b7ed1b9b7dba43e446364e96022) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png/140px-Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png) |
當 時, 隨 的增大而減小; 當 時, 隨 的減小而減小 |
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149700f11980672ab7e1d5af4898f0ac67aba29b) |
向下 |
|
x 截距[編輯]
當函數與
軸有兩個交點時,設這兩個交點分別為
,由根與係數的關係得出[d]:
和
![{\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22650188243723bde39993ec0264d5e274c8c36)
拋物線的頂點是它轉彎的地方,也稱為駐點。如果二次函數是標準形式,則頂點為
。用配方法,可以把一般形式
化為:
![{\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a051042fe47e962ac525c487840ff54849f0f1d8)
[2][3]
因此在一般形式中,拋物線的頂點是:
![{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7aefc237940c36c680a327faaf39f73ee8ffae)
如果二次函數是因子形式
![{\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a752b4d2b61dd6d855f514f8966e3bb551a2f7c7)
,則兩個根的
平均數![{\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea3e201379e8fb348db809181c2cf46b858f45)
就是頂點的
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
坐標,因此頂點位於
![{\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ae67ece35b3d257df9db59d509524b4567a96a)
![{\displaystyle a<0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f20d103a415995f10ad7e7d15fc4ec7ba8baea)
時,頂點也是最大值;
![{\displaystyle a>0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3375f20b7b2ee298d2ed037e867ea981e518d440)
時,則是最小值。
經過頂點的豎直線
![{\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb14374df2503029f476a5a529b00da837c6594c)
又稱為拋物線的對稱軸。
最大值和最小值[編輯]
導數法[編輯]
函數的最大值和最小值總是在駐點(又稱臨界點,穩定點)取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實,這種方法的好處是適用於更一般的函數。
設有函數
,尋找它的極值時,我們必須先求出它的導數:
![{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4c745347c9ba498ec096f28375c12e5d732d83)
然後,求出
![{\displaystyle f'(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89040a3e170d2bbe75e365e10b7db649bfdd0652)
的根:
![{\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4010885db78e6b5473892f6fd30605c323a9f6)
因此,
![{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcda5de4a3cf20ebc76c43543eea248071319e5f)
是
![{\displaystyle f(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab1adac5f968f13b725859af7ad345df19bb7af)
的
![{\displaystyle x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec21bb206c6c9f458130ab7ffddfe3fd8d0fa6bb)
值。現在,為了求出
![{\displaystyle y\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7754a5b6023ad921781ccfb3daf40fb1471a904c)
,我們把
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149700f11980672ab7e1d5af4898f0ac67aba29b)
代入
![{\displaystyle f(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab1adac5f968f13b725859af7ad345df19bb7af)
:
![{\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c73dff62882c5d5bca0a54805d147edeb7a5860)
所以,最大值或最小值的坐標為:
![{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7aefc237940c36c680a327faaf39f73ee8ffae)
配方法[編輯]
由於實數的二次方皆大於等於0,因此當
時,
有最大或最小值
。
二次函數的平方根[編輯]
二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓,要麼是雙曲線。如果
,則方程式
描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線
的最小值決定。如果最小值是負數,則雙曲線的軸是水平的。如果是正數,則雙曲線的軸是豎直的。如果
,則方程式
的圖像要麼是一個橢圓,要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線
的最大值是正數,則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數,則描述了一個空集。
二元二次函數[編輯]
二元二次函數是以下形式的二次多項式:
![{\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef51cc41f1509dbaa9c380109ce0762daaaaa9d)
這個函數描述了一個
二次曲面。把
![{\displaystyle f(x,y)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8837419af6cca6097deb17c7736ff2a588e0982a)
設為零,則描述了曲面與平面
![{\displaystyle z=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35af3061e06fd9162309f7ffc4441b6d304fbc3)
的交線,它是一條
圓錐曲線。
最小值/最大值[編輯]
如果
,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是雙曲拋物面。
如果
,則當
時函數具有最小值,當
具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。
二元二次函數的最大值或最小值在點
取得,其中:
![{\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d87fe7005bf14a60105c7b02b2ddd9712c5178d)
![{\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ea12489414adb615a751ef47b698277d8c5f89)
如果
![{\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8bb2a79c8f97af3a1b46463e79666e2faba3d7)
且
![{\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c1eb602c368e10fbe32aa8017078bca1679c5f)
,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是拋物柱面。
如果
且
,則函數在一條直線上取得最大值/最小值。當
時取得最大值,
時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。
參考資料[編輯]
參考書目[編輯]
外部連結[編輯]